Anthropic 讓未發布版 Claude 挑戰黎曼猜想，雖未證明成功，卻將零點下界從 41.6% 推進至 67.2%，成果經專家與 Lean 形式化驗證。
（前情提要：Anthropic Claude Opus 5 經商能力測試：最會賣貨，卻也最沒道德 ）
（背景補充：Anthropic 新推「回顧儀錶板」：檢視你跟 Claude 互動、教你更聰明與 AI 協作）
Anthropic 本週稍早發表研究文章〈Learning more about Claude’s mathematical capabilities〉，揭露一個尚未發布的 Claude 研究版本在數論領域的突破。
研究人員要求 Claude「認真嘗試」解決黎曼猜想（Riemann Hypothesis）：這道自 1859 年懸而未決、獎金高達百萬美元的千禧年數學難題。
雖然 Claude 最終沒有證明黎曼猜想，不過在過程中做出了真正的數學貢獻：將「滿足黎曼猜想的 zeta 函數零點比例」的已知下界，從 41.6% 大幅推進到 67.2% 。
黎曼猜想是什麼？
黎曼猜想是德國數學家黎曼（Bernhard Riemann）在 1859 年提出的猜想，被公認為數學界最重要的未解難題，也是七大「千禧年大獎難題」之一，解出者可獲得 100 萬美元獎金。
它的核心問題與「質數的分布」有關：質數（2、3、5、7、11…）在數線上的出現看似毫無規律，但黎曼發現，一個叫做「zeta 函數」的特殊函數，其「零點」的位置暗藏著質數分布的密碼。黎曼猜想主張：這些零點全部都整齊地排在同一條直線（臨界線）上。167 年來，數學家驗證了數兆個零點，無一例外，卻始終無法證明「全部」零點都是如此。
如果黎曼猜想被證明，人類將第一次真正掌握質數分布的規律，數學界數百篇以「假設黎曼猜想成立」為前提的論文會瞬間從「有條件成立」變成正式定理，數論、密碼學等領域的理論基礎也會被大幅鞏固。
值得一提的是，現代網路加密（如 RSA）依賴的是「大數難以分解」，與猜想是否被證明沒有直接關係，因此不會因為它被解開而一夕崩潰。真正的改變在於，人類對數字最底層規律的理解，將往前跨出一大步。
沒證出猜想，但推進了人類的已知邊界
Claude 這次的成果，是結合了 Baluyot、Goldston、Suriajaya、Turnage-Butterbaugh 等人的近期研究，以及 Bombieri 在 2000 年發表的論文，把這個下界一口氣提升到 67.2% 。
在技術方法上，Claude 建構了合適的函數空間，利用數學家 Weil 引入的二次型，以及源於臨界線上與線外零點的正定與負定子空間，寫下一個關於二次型秩的不等式。其創新之處在於同時考慮整個空間的正負定性，並允許二次型採用非對角線形式。
650 個點子全數失敗後，捲土重來
整個過程橫跨兩個工作階段，在 Claude Code 中完成，總共消耗了 3100 萬個輸出 token 。
第一輪嘗試並不順利：Claude 產生並測試了 650 個想法，全部以失敗告終。第二輪則持續約一天半，Claude 協調了約 60 個子代理（subagent）分工合作，期間執行了 2,400 個 shell 命令、撰寫數百個 Python 腳本，並針對已知的 zeta 零點進行數千次數值檢驗。
有趣的是，這次挑戰的發起人 Jarred Sumner 是 Anthropic 的員工，本身並非數學家。他在過程中的參與，大多僅限於發送「繼續」、「相信自己」之類的鼓勵訊息。文章指出，這些鼓勵似乎幫助 Claude 克服了「自己是否真能取得有意義進展」的初始懷疑。
內外部雙重驗證，並完成 Lean 形式化證明
為了確保結果無誤，Anthropic 進行了多層驗證。內部由數學家 Levent Alpöge 與 Ralph Furman 檢驗成果，Eric Easley 則協助製作 Lean 形式化證明；Claude 自己也主動搜尋反例、下載 54 篇 arXiv 論文確認沒有重複前人成果，並獨立重新證明了一次結果。
外部方面，該領域的權威專家 Brian Conrey 與 Dan Goldston 在短時間內審閱了論文。相關文件也已通過 Lean 的 comparator 工具完成形式化驗證，Lean 證明並已在 GitHub 上開源，連同 Claude 的完整論文、過程解釋與詳細紀錄一併公開。
距離證明黎曼猜想還遠，但意義重大
Anthropic 在文章中坦言，並不預期 Claude 這次使用的技術路線最終能導向黎曼猜想的完整證明。換句話說，這道 167 年的難題依然無解。
不過，這項成果被視為 AI 模型數學能力進展速度的最新例證：一個 AI 在人類幾乎不介入的情況下，於一天半內做出了可通過形式化驗證、獲頂尖專家認可的原創數學貢獻。
Anthropic 認為，這展示了 AI 未來在「放大數學家思想影響力」上的潛力。
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